Question

12．已知直线l：x+y-3=0与x轴，y轴交点分别为A．B，幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），若点P在y=f（x）的图象上，则使得△ABP的面积等于3的P点的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 分别求出A、B的坐标，设出P点的坐标，各个关于x的方程，得到解的个数，从而求出满足条件的P点的个数即可．

解答 解：由题意A：（3，0），B（0，3），
设幂函数f（x）的解析式是f（x）=x^α，
将（2，4）代入表达式得：α=2，
故f（x）=x²，
设P（x，x²），则P到AB的距离d=$\frac{|x{+x}^{2}-3|}{\sqrt{2}}$，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{2}$•$\frac{|x{+x}^{2}-3|}{\sqrt{2}}$=3，
故x²+x-3=±2，
故x²+x-5=0或x²+x-1=0，
由△=1+20=21＞0和△=1+4=5＞0，
故可求出四个解，
故P点的坐标有4个，
故选：A．

点评 本题考查了点的直线的距离，考查幂函数的定义以及根的判别式，是一道中档题．