Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过（1，

3

2

），e=

3

2

，直线l₁：y=kx+m（m≠0）与椭圆交于AB两点，直线l₂：y=kx-m与椭圆交于C、D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当k=1时，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用待定系数法，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）当k=1时，四边形ABCD是平行四边形，表示出两平行线AB，CD间的距离，|AB|，可得面积，再利用配方法，求四边形ABCD面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意得

1 a2 + 3 4b2 =1 a2-b2 a2 = 3 4

，解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）由题意知直线l₁和直线l₂关于原点对称，则AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，
设两平行线AB，CD间的距离为d，则d=

|m-(-m)|

1+1

=

2

|m|．
y=x+m代入

x2

4

+y2=1，整理可得5x²+8mx+4m²-4=0，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
∴|AB|=

2

•

( 8m 5 )2- 4(4m2-4) 5

所以S=

2

•

( 8m 5 )2- 4(4m2-4) 5

•

2

|m|=

8

5

-(m2- 5 2 )2+ 25 4

≤4
所以四边形ABCD的面积S取得最大值为4．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．