Question

设函数y=f（x）是R上的奇函数，且对任意的实数a，b，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0成立．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性并证明；
（2）若对任意t∈[-1，0]，不等式f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用定义证明单调性，
（2）运用奇偶性，单调性转化为t²-2t-1≥k-2t²对t∈[-1，0]恒成立分离参数转化为函数求解．

解答： 解：（1）函数y=f（x）在R上是减函数．
证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•(x1-x2)
由已知得

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＜0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函数y=f（x）在R上是减函数．
（2）由（1）知y=f（x）在R上是减函数，且为奇函数，f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0，
所以f（t²-2t-1）≤-f（2t²-k）=f（k-2t²）
即t²-2t-1≥k-2t²对t∈[-1，0]恒成立
转化可得k≤3t²-2t-1对t∈[-1，0]恒成立
设g（t）=3t²-2t-1，t∈[-1，0]，
则k≤[g（t）]_min，又g（t）在t∈[-1，0]上是减函数
∴[g（t）]_min=g（0）=-1
∴k≤-1
∴k_max=-1．

点评：本题综合考查了函数的性质，用性质解决问题．