Question

17．设x＞0，则$x\sqrt{1-4{x^2}}$得最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由x＞0，令y=$x\sqrt{1-4{x^2}}$≥0，可得：y²=x²（1-4x²）=$\frac{1}{4}$×4x²（1-4x²），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由x＞0，令y=$x\sqrt{1-4{x^2}}$≥0，
可得：y²=x²（1-4x²）=$\frac{1}{4}$×4x²（1-4x²）≤$\frac{1}{4}$$（\frac{4{x}^{2}+1-4{x}^{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{16}$，∴$y≤\frac{1}{4}$．
当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时取等号，
∴$x\sqrt{1-4{x^2}}$的最大值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．