Question

已知sinx+siny=

1

3

，求μ=siny-cos²x的最值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：sinx+siny=

1

3

⇒siny=

1

3

-sinx，于是μ=siny-cos²x=(sinx-

1

2

)2-

11

12

；siny∈[-1，1]⇒-

2

3

≤sinx≤1，利用正弦函数的单调性可求得μ=siny-cos²x的最值．

解答： 解：∵sinx+siny=

1

3

，
∴siny=

1

3

-sinx，
∴μ=siny-cos²x
=

1

3

-sinx-cos²x
=

1

3

-sinx-（1-sin²x）
=(sinx-

1

2

)2-

11

12

，
∵-1≤siny≤1，
∴-1≤

1

3

-sinx≤1，
解得：-

2

3

≤sinx≤1，
∴当sinx=-

2

3

时，μ_max=

4

9

，
当sinx=

1

2

时，μ_min=-

11

12

．

点评：本题考查三角函数的最值，考查正弦函数的单调性与最值，考查配方法，由-1≤siny=

1

3

-sinx≤1求得-

2

3

≤sinx≤1是关键，也是难点，属于中档题．