Question

已知函数y=sin2x+acosx+

5

8

a-

3

2

在0≤x≤

π

2

上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：化正弦为余弦，然后配方，对

a

2

分类后求解函数的最大值，由最大值等于1求解a的值．

解答： 解：y=sin2x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-cos2x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

．
∵0≤x≤

π

2

，
∴0≤cosx≤1
（1）当

a

2

＞1，即a＞2时，则当cosx=1时，函数取得最大值为

13a

8

-

3

2

，
由

13a

8

-

3

2

=1，解得a=

20

13

（不合题意，舍去）；
（2）当

a

2

＜0，即a＜0时，则当cosx=0时，函数取得最大值为

5a

8

-

1

2

，
由

5a

8

-

1

2

=1，解得a=

12

5

（不合题意，舍去）
（3）当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，则当cosx=

a

2

时，函数取得最大值为

a2

4

+

5a

8

-

1

2

，
由

a2

4

+

5a

8

-

1

2

=1，整理，得2a²+5a-12=0，解得a=

3

2

或a=-4（不合题意）
综上所述，所求a的值为

3

2

．

点评：本题考查了利用配方法求三角函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，关键是做到正确分类，是中档题．