Question

已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）把k=1代入求出导函数，得到单调区间，（2）先求出导函数，再通过讨论a的范围，求出函数的最值，解不等式求出即可．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-k，x＞0，
（1）k=1时，f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）k≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，不合题意，
k＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

1

k

，
令f′（x）＜0，解得：x＞

1

k

，
∴f（x）在（0，

1

k

）递增，在（

1

k

，+∞）递减，
∴f（x）_max=f（

1

k

）=-lnk，
若f（x）≤0恒成立，
∴-lnk≤0，
解得：k≥1，
∴k的范围是：（1，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．