题目内容

已知直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，M是AB的中点，C是抛物线上的点，且使得
CA
•
CB
取最小值，抛物线在点C处的切线为l，则（　　）
A、CM⊥AB
B、CM⊥l
C、CA⊥CB
D、CM=
1
2
AB
考点：平面向量数量积的运算,抛物线的简单性质
专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：如图所示，利用向量的三角形法则和数量积运算可得：
CA
•
CB
=(
AM
-
CM
)•(
BM
-
CM
)=
CM
2-
AM
2，当且仅当|
CM
|取得最小值时，取得
CA
•
CB
取最小值，
只有当CM⊥l时，|
CM
|取得最小值．
解答： 解：如图所示，
CA
•
CB
=(
AM
-
CM
)•(
BM
-
CM
)
=
CM
2-(
BM
+
AM
)•
CM
+
AM
•
BM

=
CM
2-
AM
2，
当且仅当|
CM
|取得最小值时，取得
CA
•
CB
取最小值，
只有当CM⊥l时，|
CM
|取得最小值，
故选：B．
点评：本题考查了向量的三角形法则和数量积运算、抛物线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
运行如图所示程序，输出的结果是
 
．
ρcosθ+2ρsinθ=1的直角坐标方程为
 
．
（理）已知圆的方程是x2+（y-1）2=1，若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为
 
．
把“函数y=x2-x+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论的形式：
大前提：
 
；
小前提：
 
；
结论：
 
．
已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x-2），y=f（x-2）关于y轴对称，当x∈（0，2）时，f（x）=log2x2，则下列结论中正确的是（　　）
A、f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
B、f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
C、f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
D、f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈（1，2）时，f（x）=
f(1)
x
，令g（x）=2f（x）-x-4x∈[-6，2]，则函数g（x）的零点个数为（　　）
A、9B、8C、7D、6
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若
OB
=a1
OA
+a20
OC
，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S20=（　　）
A、10B、11C、20D、21
已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

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