Question

已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.

Answer 1

(1)解析：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，l：y＝－2为准线的抛物线，

因为抛物线焦点到准线的距离等于4，

所以圆心的轨迹方程是x²＝8y.

(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，

设AB：y＝kx＋2，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由可得x²－8kx－16＝0，x₁＋x₂＝8k，x₁x₂＝－16.

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k₁＝x₁，k₂＝x₂，

k₁·k₂＝x₁·x₂＝x₁·x₂＝－1.

所以AQ⊥BQ.