Question

某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本．经统计，得到下列关于产品重量的样本频数分布表：

甲流水线 产品重量（单位：克）	频数
（490，495]	2
（495，500]	12
（500，505]	18
（505，510]	6
（510，515]	2

乙流水线 产品重量（单位：克）	频数
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

已知产品的重量合格标准为：重量值（单位：克）落在（495，510]内的产品为合格品；否则为不合格品．
（Ⅰ）从甲流水线样本的合格品中任意取2件，求重量值落在（505，510]的产品件数X的分布列；
（Ⅱ）从乙流水线中任取2件产品，试根据样本估计总体的思想，求其中合格品的件数Y的数学期望；
（Ⅲ）从甲、乙流水线中各取2件产品，用ξ表示“甲流水线合格品数与乙流水线合格品数的差的绝对值”，并用A表示事件“关于x的一元二次方程2x²+2ξx+ξ=0没有实数解”． 试根据样本估计总体的思想，求事件A的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）先确定X的可能取值为0，1，2，再分别求出概率，列表即可，
（Ⅱ）为合格品的概率p=

3

4

．  再得出合格品的件数符合二项分布Y～B(2，

3

4

)． 由二项分布的期望方差可知．
（Ⅲ）根据根的判别式，求出ξ的值，再求出事件A（即ξ=1）包含四种情况，再根据概率公式求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）频数分布表知，甲样本中合格品数为12+18+6=36，其中重量值落在（505，510]的产品为6件．
∴X的可能取值为0，1，2，
且P(X=k)=

C k 6 • C 2-k 30

C 2 36

   (k=0，1，2)．           
P(X=0)=

C 2 30

C 2 36

=

29

42

；P(X=1)=

C 1 6 • C 1 30

C 2 36

=

2

7

，P(X=2)=

C 2 6

C 2 36

=

1

42

．
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	29 42	2 7	1 42

（Ⅱ）由频数分布表知，乙样本中合格品数为8+14+8=30件，
∴若从乙样本中任取一件产品，该产品为合格品的概率p=

3

4

．      
根据样本估计总体的思想，可估计从乙流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率p=

3

4

．                                                       
∵从乙流水线上所取的2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，
∴合格品的件数Y～B(2，

3

4

)．             
∴EY=2×

3

4

=

3

2

，即合格品的件数Y的数学期望为

3

2

．           
（Ⅲ）由方程2x²+2ξx+ξ=0没有实数解，得△=4ξ²-8ξ＜0，
解得0＜ξ＜2，∴ξ=1．                              
记“从甲流水线中任取2件产品，其中合格品的件数”为Z，“从乙流水线中任取2件产品，其中合格品的件数”为Y，则ξ=|Z-Y|．
∵Z与Y都有0，1，2三种可能的取值，
∴事件A（即ξ=1）包含四种情况：

Z=0 Y=1

或

Z=1 Y=0

或

Z=1 Y=2

或

Z=2 Y=1

．  
由（Ⅱ）知，从乙流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率p=

3

4

．
仿（Ⅱ）的做法，可知从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率p=

9

10

．
∵从同一条流水线上所取的2件产品互不影响，不同流水线上的取法之间也互不影响，

∴P(ξ=1) =( 1 10 )2× C 1 2 × 3 4 × 1 4 + C 1 2 × 9 10 × 1 10 ×( 1 4 )2+ C 1 2 × 9 10 × 1 10 ×( 3 4 )2+( 9 10 )2× C 1 2 × 3 4 × 1 4 = 21 50 .

所以事件A的概率P(A)=P(ξ=1)=

21

50

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望与方差，涉及概率和频率分布表的应用，属中档题．