Question

判断函数f（x）=x-

1

x

在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：判断函数的单调性，然后直接利用单调性的定义证明即可．

解答： 解：函数f（x）=x-

1

x

在区间（0，+∞）上的单调性是单调增函数．
证明如下：设0＜x1＜x2＜+∞，
则有f（x2)-f(x1)=x2-

1

x2

-(x1-

1

x1

)=(x2-x1)+(

1

x1

-

1

x2

)-f（x₁）=x₂-

1

x2

-x₁+

1

x1

=（x2-x1)+(

x2-x1

x1•x2

)=(x2-x1)(1+

1

x1•x2

)=(x2-x1)(

x1x2+1

x1•x2

)

1+x1x2

x1x2

．
∵0＜x₁＜x₂＜+∞，x₂-x₁＞0且x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，定义法的应用，注意作差法的化简过程．