Question

已知函数f（x）=

1

3

-

1

3x

与g（x）=a（x²+x-a²-a）同时满足条件：
①{x|f（x）≥0}⊆{x|g（x）＜0}；
②?x₀∈（-∞，-1）使得f（x₀）g（x₀）＜0成立．
则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：首先求出不等式f（x）≥0、g（x）＜0的解；然后分类讨论，求出{x|f（x）≥0}⊆{x|g（x）＜0}时a的取值范围；最后根据②?x₀∈（-∞，-1）使得f（x₀）g（x₀）＜0成立，推得g（x）=x²+x-a²-a＜0在（-∞，-1）上有解，即g（-1）＜0，求出a的取值范围，取交集即可．

解答： 解：（1）根据f（x）=

1

3

-

1

3x

≥0，可得x≥1；
g（x）=a（x²+x-a²-a）=a（x+a+1）（x-a），
根据{x|f（x）≥0}⊆{x|g（x）＜0}，
可得a＜0，x²+x-a²-a＞0，
①-

1

2

＜a＜0时，-a-1＜a，
由g（x）＜0，可得x＞a，或x＜-a-1，
由{x|f（x）≥0}⊆{x|g（x）＜0}，可得a≥1，
与-

1

2

＜a＜0矛盾；
②a＜-

1

2

时，-a-1＞a，
由g（x）＜0，可得x＞-a-1，或x＜a，
由{x|f（x）≥0}⊆{x|g（x）＜0}，可得-a-1≥1，
解得a≤-2；
③a=-

1

2

时，x²+x-a²-a=x²+x+

1

4

=(x+

1

2

)2≥0恒成立，
即a=-

1

2

时满足题意；
（2）当x₀∈（-∞，-1）时，f（x₀）＜0，
可得?x₀∈（-∞，-1），使得g（x₀）＞0成立，
即?x₀∈（-∞，-1），使得x²+x-a²-a＜0，
因此g（x）=x²+x-a²-a＜0在（-∞，-1）上有解，
可得g（-1）＜0，
解得a＞0或a＜-1，
综上，可得a≤-2，
即实数a的取值范围是：（-∞，-2]．
故答案为：（-∞，-2]．

点评：本题主要考查了集合的包含关系的判断以及运用，考查了不等式的求解，考查了分类讨论的思想，属于中档题．