题目内容
已知数列{an}满足an＜0，
+（n-1）an-n=0，
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n项和Sn．
| a | 2 n |
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
| an |
| 2n |
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）对式子
+（n-1）an-n=0因式分解，由an＜0求出通项公式；
（2）由（1）和条件求出
，代入前n项和Sn，利用错位相减法求出数列前n项和Sn．
| a | 2 n |
（2）由（1）和条件求出
| an |
| 2n |
解答：
解：（1）由
+(n-1)an-n=0得：（an+n）（an-1）=0，
由an＜0，得an=-n…（5分）
（2）由（1）得，
=
，
∵Sn=
+
+…+
，
∴Sn=
+
+…+
=-(
+
+…+
) ①
则
Sn=-(
+
+…+
) ②
①-②得，
Sn=-(
+
+
+…+
-
)=-[1-(
)n-
]，
即
Sn=-(1-
)=
-1，
则Sn=
-2．…（12分）
| a | 2 n |
由an＜0，得an=-n…（5分）
（2）由（1）得，
| an |
| 2n |
| -n |
| 2n |
∵Sn=
| a1 |
| 2 |
| a2 |
| 22 |
| an |
| 2n |
∴Sn=
| -1 |
| 2 |
| -2 |
| 22 |
| -n |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| n |
| 2n |
则
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| n |
| 2n+1 |
①-②得，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| n |
| 2n+1 |
即
| 1 |
| 2 |
| n+2 |
| 2n+1 |
| n+2 |
| 2n+1 |
则Sn=
| n+2 |
| 2n |
点评：本题考查数列的递推公式求数列通项公式，以及错位相减法求数列的和，这是常考的题型，考查了运算能力．
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