Question

已知抛物线上y=x²存在两个不同的点M、N关于y=-kx+

9

2

对称，求k的取值范围．（两种方法解答）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出M、N两点坐标，利用对称性，求出它们中点P的坐标，根据P在抛物线内，建立不等式，即可求出k的取值范围．

解答： 解：
解法一：设抛物线上y=x²存在两个不同的点M、N关于y=-kx+

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2

对称，MN的中点为P（x₀，y₀）（x₀≠0），
∴k_MN=

y1-y2

x1-x2

=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=2x₀=

1

k

，
∴x₀=

1

2k

，
∵P∈l，
∴y₀=-kx₀+

9

2

，
∴y₀=4，
∵P在抛物线内，
∴y₀＞x₀²，
即4＞（

1

2k

）²，
∴16k²-1＞0，
解得：k∈（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）；
解法二：设M、N的横坐标分别a、b，则对应的纵坐标是a²、b²，即M（a，a²），N（b，b²）
因为MN关于y=-kx+

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对称，所以MN的中点在直线上，并且MN与直线垂直，即MN的斜率与-k的积是-1，
所以有：

a2-b2

a-b

×(-k)=-1，化简有 （a+b）k=1，

a2+b2

2

=-k×

a+b

2

+

9

2

，化简有 a²+b²=8，
即变成了在 a²+b²=8条件下求k=

1

a+b

的取值范围，
令a=2

2

sint，b=2

2

cost，
这时k=

1

2 2 sint+2 2 cost

，

1

k

=4sin(t+

π

4

)，
其中-1≤sin（t+

π

4

）≤1
所以有k∈（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）．

点评：本题考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．