Question

已知定义在R上的函数f（x）=-

1

2

+

1

2x+a

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）若不等式f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）奇函数定义域为R则f（0）=0，求得a=1；（2）将a=1代入f（x）化简，先做出判断然后用定义证明函数f（x）的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0化为9^x-（k+1）3^x+2＞0对任意x∈R恒成立，解恒成立问题求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=-

1

2

+

1

2x+a

是奇函数且定义域为R，则f（0）=0，
即-

1

2

+

1

1+a

=0，则a=1．
（2）由（1）可得f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

，函数在定义域R上为减函数．
证明：任取两实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

-（-

1

2

+

1

2x2+1

）
=

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，
∴2 x2-2 x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
函数在定义域R上为减函数．
（3）∵f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0，
∴f（k3^x）＞-f（3^x-9^x-2），
又∵函数在定义域R上为奇函数，
∴f（k3^x）＞f（-3^x+9^x+2），
∵函数在定义域R上为减函数，
∴k3^x＜-3^x+9^x+2，
即9^x-（k+1）3^x+2＞0对任意x∈R恒成立，
令3^x=t（t＞0），
原式即为t²-（k+1）t+2＞0对于任意t＞0恒成立，
即（k+1）t＜t²+2．
∵t＞0，
∴k+1＜

t2+2．

t

，
∴k＜t+

2

t

-1=2

t× 2 t

-1=2

2

-1，
实数k的取值范围为（-∞，2

2

-1）

点评：本题关键在于熟练的应用函数单调性和奇偶性以及恒成立问题的转化．