题目内容
已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足
-
=λ（b
+c
），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
| OP |
| OA |
| AB |
| AC |
| A、重心 | B、垂心 | C、内心 | D、外心 |
考点：向量加减混合运算及其几何意义,三角形五心
专题：平面向量及应用
分析：由题意，得出
=λ（b
+c
）=λbc（
+
），
、
是单位向量，得出
是∠BAC的平分线，即得结论．
| PA |
| AB |
| AC |
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| PA |
解答：
解：根据题意，在△ABC中，动点P满足
-
=λ（b
+c
），λ∈（0，+∞），
∴
=λ（b
+c
）
=λbc（
+
）
=λbc（
+
）；
∵
、
是单位向量，
∴
+
在∠BAC的角平分线上，
∴λbc（
+
）也在∠BAC的角平分线上，
∴
是∠BAC的平分线，
∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故选：C．
| OP |
| OA |
| AB |
| AC |
∴
| PA |
| AB |
| AC |
=λbc（
| ||
| c |
| ||
| b |
=λbc（
| ||
|
|
| ||
|
|
∵
| ||
|
|
| ||
|
|
∴
| ||
|
|
| ||
|
|
∴λbc（
| ||
|
|
| ||
|
|
∴
| PA |
∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故选：C．
点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的几何意义进行解答，是中档题．
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