Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=

7

，C=

π

3

．
（1）若2sinA=3sinB，求a，b；
（2）若cosB=

3 10

10

，求sin2A的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入得到一个关系式，再将已知等式利用正弦定理化简得到另一个关系式，联立两关系式即可求出a与b的值；
（2）由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，进而确定出sin2B与cos2B的值，将sin2A变形为sin2（π-B-C），把C度数代入，利用两角和与出的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵c=

7

，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=7①，
∵2sinA=3sinB，由正弦定理化简得：2a=3b②，
∴联立①②解得：a=3，b=2；
（2）∵cosB=

3 10

10

，B为三角形内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
∴sin2B=2sinBcosB=

3

5

，cos2B=2cos²B-1=

4

5

，
∴sin2A=sin2（π-B-C）=sin（

4π

3

-2B）=-

3

2

cos2B+

1

2

sin2B=

3-4 3

10

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．