Question

9．已知直线l的方程为y=kx-1，圆的方程为x²+y²-2x+4y+4=0．若直线l与圆相交截得的弦长为$\sqrt{3}$，求直线l的斜率k．

Answer 1

分析 由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和求出圆心到直线的距离，再建立方程求解．

解答 解：圆的方程为x²+y²-2x+4y+4=0，可化为（x-1）²+（y+2）²=1，圆心坐标为（1，-2），半径为1．
∵直线l与圆相交截得的弦长为$\sqrt{3}$，
∴圆心到直线的距离为d=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$，
故直线方程为y=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$x-1．

点评 本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．