Question

17．如图所示，要测量河对岸一电视塔的高PC，在河旁取A、B两点，测得AB=100$\sqrt{3}$米，∠CAB=∠ABC=60°，PB与地面所成的角为30°．
（1）求电视塔的高PC；
（2）求异面直线PB与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得BC=AB=100$\sqrt{3}$，由此利用勾股定理能求出PC的长．
（2）以C为原点，CA为x轴，在平面ABC内过A作AC的垂线为y轴，以CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与AC所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵AB=100$\sqrt{3}$米，∠CAB=∠ABC=60°，PB与地面所成的角为30°，PC⊥平面ABC，
∴BC=AB=100$\sqrt{3}$，
设PC=x，则PB=2x，4x²-x²=（100$\sqrt{3}$）²，
解得x=100，即PC=100（米）．
（2）以C为原点，CA为x轴，在平面ABC内过A作AC的垂线为y轴，以CP为z轴，
建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（100$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，100），B（50$\sqrt{3}$，150，0），
$\overrightarrow{CA}$=（100$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（50$\sqrt{3}$，150，-100），
设异面直线PB与AC所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|15000|}{100\sqrt{3}×\sqrt{40000}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴异面直线PB与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．