Question

10．已知F₁，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0且a≠b）的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（　　）

• A． △PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=a上
• B． △PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=b上
• C． △PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线OP上
• D． △PF₁F₂的内切圆必通过点（b，0）

Answer 1

分析 设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，因此|F₁M|-|F₂M|=2a，设M点坐标为（x，0），代入即可求得x，判断A，D正确．

解答 解：设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，
则|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，
又点P在双曲线右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，
设M点坐标为（x，0），
则由|F₁M|-|F₂M|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，
故D不正确．
故答案为A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．特别是灵活利用了双曲线的定义．