Question

15．已知f（x）═ax-$\frac{a}{x}$-51nx，g（x）=x²-mx+4
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）当a=2时，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用x=2是函数f（x）的极值点，求出f′（2）=0，即可求出a的值；
（2）对g（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有f（x₁）≥g（x₂）成立，只要要求f（x）_max≥g（x）_max，即可，从而求出m的范围．

解答 解：（1）∵f（x）═ax-$\frac{a}{x}$-51nx，
∴f′（x）═a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$，
∵x=2是函数f（x）的极值点，
∴f′（2）═a+$\frac{a}{4}$-$\frac{5}{2}$=0，
∴a=2，
经检验a=2，x=2是函数f（x）的极值点；
（2）当a=2时，f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
g（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴要求f（x）的最大值大于g（x）的最大值即可，
f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$，x＞2时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当$\frac{1}{2}$＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∵x₁∈（0，1），
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$出取得极大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵g（x）=x²-mx+4=$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
若m≤3，g_max（x）=g（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥$\frac{11-5ln2}{2}$，
∵$\frac{11-5ln2}{2}$＞3，故m不存在；
若m＞3时，g_max（x）=g（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、通过构造函数研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．