Question

18．下列命题中：
①若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$是共线向量，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$是共线向量，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow c$是共线向量；
②锐角△ABC中，恒有sinA＞cosB；
③若向量$\overrightarrow{a}$=（6，2）与$\overrightarrow{b}$=（-3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜9；
④函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}}$）的最大值为$\sqrt{2}$；
其中正确的序号是②④．

Answer 1

分析 举例说明①错误；由三角形为锐角三角形可得A＞$\frac{π}{2}-B$，两边取正弦得到sinA＞cosB判断②；由题意得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，求出k的取值范围，并排除反向情况判断③；展开两角和与差的余弦，化简后利用辅助角公式化积，求出函数的最大值判断④．

解答 解：对于①，若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$是共线向量，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$是共线向量，
则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow c$是共线向量，错误，如$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，对于任意两个向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$都满足$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$是共线向量，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$是共线向量；
对于②，锐角△ABC中，恒有A+B$＞\frac{π}{2}$，则A＞$\frac{π}{2}-B$，∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}-B$）=cosB，故②正确；
对于③，∵向量$\overrightarrow{a}$=（6，2）与$\overrightarrow{b}$=（-3，k）的夹角是钝角，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，即6×（-3）+2k＜0，解得k＜9，又6k-2×（-3）=0，得k=-1，此时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$反向，应去掉，
∴k的取值范围是{k|k＜9且k≠-1}，故③错误；
对于④，函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}}$）
=$cos2xcos\frac{π}{3}+sin2xsin\frac{π}{3}+cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xsin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}+1}{2}cos2x$=$\sqrt{2}sin（2x+θ）$，
∴函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，故④正确．
∴正确的命题是②④．
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量关系的条件，考查三角函数的图象和性质，是中档题．