Question

8．在底面是正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁⊥平面ABC，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（1）求证：BF∥平面A₁EC；
（2）若AA₁=2$\sqrt{2}$，求二面角C-EA₁-A的大小．

Answer 1

分析 （1）取A₁C的中点H，连结HE，HF，推导出四边形EBFH为平行四边形，由此能证明BF∥平面A₁EC．
（2）设AB中点为G，连结EG，CG，推导出∠GEC为二面角C-EA₁-A的平面角，由此能求出二面角C-EA₁-A的大小．

解答 证明：（1）取A₁C的中点H，连结HE，HF，
则HF∥A₁A，HF=$\frac{1}{2}$A₁A，
∴EB∥HF，且EB=HF，
∴四边形EBFH为平行四边形，
∴BF∥EH，且EH?平面A₁EC，BF?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．
解：（2）设AB中点为G，连结EG，CG，
∵CG⊥AB，CG⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CG⊥平面BAA₁B₁，∴CG⊥EA₁，且EC=A₁E=$\sqrt{6}$，A₁C=2$\sqrt{3}$，
∴${A}_{1}{E}^{2}$+EC²=${A}_{1}{C}^{2}$，∴EC⊥EA₁，
∵CG∩EC=C，∴EA₁⊥平面EGC，∴EG⊥EA₁，
∴∠GEC为二面角C-EA₁-A的平面角，
且EG=GC=$\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{6}$，
∴∠GEC=45°．
∴二面角C-EA₁-A的大小为45°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．