Question

11．如图，在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B₁P⊥D₁E，则线段B₁P的长度的最大值为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B₁P的长度的最大值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则D₁（0，0，2），E（1，2，0），B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（a-2，b-2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，2，-2），
∵B₁P⊥D₁E，∴$\overrightarrow{{B}_{1}P}•\overrightarrow{{D}_{1}E}$=a-2+2（b-2）+4=0，
∴a+2b-2=0，
∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，
设CD中点F，则点P在线段AF上，
当A与P重合时，线段B₁P的长度为：|AB₁|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$；
当P与F重合时，P（0，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（-2，-1，-2），线段B₁P的长度|$\overrightarrow{{B}_{1}P}$|=$\sqrt{4+4+1}$=3，
当P在线段AF的中点时，P（1，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（-1，-$\frac{3}{2}$，-2），线段B₁P的长度|$\overrightarrow{{B}_{1}P}$|=$\sqrt{1+\frac{9}{4}+4}$=$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
∴线段B₁P的长度的最大值为3．
故选：D．

点评 本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．