Question

20．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，CD交⊙O于点D、F．
（Ⅰ）求证：AB²=CF•CD；
（Ⅱ）若DF=CE，求$\frac{CF}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB=AC，利用切割线定理，即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）AC=$\sqrt{3}$CE，若DF=CE，利用切割线定理，求$\frac{CF}{DF}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，
∴sin∠ACB=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°，
∴∠AOC=60°
∵OA=OB，∴∠ABC=30°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC，
∵CA切圆O于A点，
∴由切割线定理得AC²=CF•CD，
∴AB²=CF•CD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AC=$\sqrt{3}$CE，AC²=CF•CD，DF=CE，
∴3DF²=CF•（CF+DF），
∴CF²-DF•CF-3DF²=0，
∴CF=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$DF
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．