Question

已知f（x）=

x2

2

-x+

1

2

+alnx在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求导f′（x）=x-1+

a

x

=

x2-x+a

x

；从而可得x²-x+a≥0在[2，+∞）上恒成立；从而可得a≥-（x²-x）在[2，+∞）上恒成立；从而化为函数的最值问题．

解答： 解：f′（x）=x-1+

a

x

=

x2-x+a

x

；
∵f（x）=

x2

2

-x+

1

2

+alnx在[2，+∞）上是增函数，
∴x²-x+a≥0在[2，+∞）上恒成立；
故a≥-（x²-x）在[2，+∞）上恒成立；
而-（x²-x）在[2，+∞）上单调递减，
故-（x²-x）≤-（4-2）=-2；
故a≥-2；
故答案为：a≥-2．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．