Question

已知正项数列{a_n}，a₁=

1

2

，且a_n+1=

2an

an+2

（*）
（1）求证：{

1

an

}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足bn=e

1

an

，若

m	b1b2…bm

（m∈N，m≥2），仍是{b_n}中的项，求m在区间[2，2006]中的所有可能值之和S；
（3）若将上述递推关系（*）改为：a_n+1＜

2an

an+2

，且数列{na_n}中任意项na_n＜p，试求满足要求的实数p的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）对an+1=

2an

an+2

两边取倒数，得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，由此能证明{

1

an

}是等差数列，从而得到a_n=

2

n+3

．
（2）

m	b1b2…bm

=

m	e 1 a1 e 1 a2 …e 1 am

=e

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 am

m

=e

m(2+ m+3 2 )

2m

=e

m+7

4

，由此能求出m在区间[2，2006]中的所有可能值之和S．
（3）对an+1＜

2an

an+2

两边取倒数，得

1

an+1

＞

1

an

+

1

2

，由此能求出满足要求的实数p的取值范围．

解答： （1）证明：对an+1=

2an

an+2

两边取倒数，
得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，故{

1

an

}是等差数列，
又

1

a1

=2，故

1

an

=2+

(n-1)

2

=

n+3

2

，
∴a_n=

2

n+3

．
（2）解：

m	b1b2…bm

=

m	e 1 a1 e 1 a2 …e 1 am

=e

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 am

m

=e

m(2+ m+3 2 )

2m

=e

m+7

4

设

m	b1b2…bm

是{b_n}中的第n项，
则

m+7

4

=

n+3

2

，

m+7

4

=

n+3

2

⇒m=2n-1
所以S=

1002(3+2005)

2

=1002×1004=1006008．
（3）解：对an+1＜

2an

an+2

两边取倒数，得

1

an+1

＞

1

an

+

1

2

，

1

an

=(

1

an

-

1

an-1

)+(

1

an-1

-

1

an-2

)+

1

an-2

+…-

1

a2

+(

1

a2

-

1

a1

)+

1

a1

＞2+

1

2

(n-1)=

n+3

2

，
nan＜

2n

n+3

，而

2n

n+3

＜2，
所以p∈[2，+∞）．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．