Question

已知函数，．
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)设点为函数的图象上任意一点，若曲线在点处的切线的斜率恒大于，
求的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ)先求出函数的定义域为，再对函数求导得.对分， ，，四种情况进行讨论，求得每种情况下使得的的取值范围，求得的的取值集合即是函数的单调增区间；(Ⅱ)将代入函数的导数得，根据化简整理构造新函数，将问题转化为：的恒成立问题，分，，三种情况结合二次函数的单调性进行讨论.
试题解析：(Ⅰ)依题意，的定义域为，
. 2分
①当时，
令，解得，所以函数在上是增函数；
②当时，
令，解得或，所以函数在和上是增函数；
③当时，
在上恒成立，所以函数在是增函数；
④当时，
令，解得或，所以函数在和上是增函数. 6分
综上所述，
①当时，函数的单调递增区间是；
②当时，函数的单调递增区间是和；
③当时，函数的单调递增区间是；
④当时，函数的单调递增区间是和. 7分
(Ⅱ)因为函数在点处的切线的斜率大于，
所以当时，恒成立.
即当时，恒成立.
设，函数的对称轴方程为.10分
（ⅰ）当时，在时恒成立.
(ⅱ) 当时，即时，在时，函数成立，则方程 的判别式
，解得.
(ⅲ)当时，即时，在上为增函数，的取值范围是，则在
时，函数不恒成立. 13分
综上所述，时，在函数的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于. 14分