Question

17．已知A，P，Q为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上三点，若直线PQ过原点，且直线AP，AQ的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，则椭圆C的离心率等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设点的坐标，表示出直线AP，AQ的斜率，利用直线AP，AQ的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，结合点差法，化简，即可求得离心率．

解答 解：设A（x，y），P（m，n），Q（-m，-n），则直线AP，AQ的斜率分别为$\frac{y-n}{x-m}$，$\frac{y+n}{x+m}$
∵直线AP，AQ的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{y-n}{x-m}•\frac{y+n}{x+m}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∵A，P是椭圆C上的点，∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式相减可得$\frac{{x}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
则$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，解得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的几何性质，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．