Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数g（x）的最大值与最小值，并指出取得最值时的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（0，-$\sqrt{3}$）代入解析式，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得到函数y=$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$；  结合正弦函数的最值的求法进行解答即可．

解答 解：（Ⅰ）观察图象得，A=2．
因为$\frac{T}{2}=\frac{π}{6}-（-\frac{π}{3}）=\frac{π}{2}$，
所以T=π，ω=2．
当x=0时，$2sinφ=-\sqrt{3}$，$|φ|＜\frac{π}{2}$，故$φ=-\frac{π}{3}$．
所以所求解析式为$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数y=g（x）的图象，
故$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$；                
当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，
由正弦函数的性质可知，
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{12}$时，g（x）取得最大值2，

当$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$即$x=\frac{π}{2}$时，g（x）取得最小值$-\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值．