Question

5．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cos A=$\frac{12}{13}$，cos C=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求索道AB的长；
（Ⅱ）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（Ⅲ）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知sin B=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C，求得sinB，由正弦定理可知：$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，即可求得AB的长；
（Ⅱ）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得d²=（100+50t）²+（130t）²-2×130t×（100+50t）×$\frac{12}{13}$=200（37t²-70t+50）．根据二次函数的性质当t=$\frac{35}{37}$min时，甲、乙两游客距离最短；
（Ⅲ）由正弦定理求得BC=500m，甲已走了50×（2+8+1）=550 m，还需走710 m才能到达C，由题意可知：-3≤$\frac{500}{v}$-$\frac{710}{50}$≤3，即可求得乙步行的速度应控制在什么范围．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，cos A=$\frac{12}{13}$，cos C=$\frac{3}{5}$，
∴sin A=$\frac{5}{13}$，sinC=$\frac{4}{5}$，
∴sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，可得：AB=$\frac{AC}{sinB}$•sinC=$\frac{1260}{\frac{63}{65}}$×$\frac{4}{5}$=1040m，
∴索道AB的长为1040 m．
（Ⅱ）假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t） m，乙距离A处130t m，
∴由余弦定理得d²=（100+50t）²+（130t）²-2×130t×（100+50t）×$\frac{12}{13}$=200（37t²-70t+50）．
∵0≤t≤$\frac{1040}{130}$，即0≤t≤8，
故当t=$\frac{35}{37}$min时，甲、乙两游客距离最短．
（Ⅲ）由正弦定理$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，得BC=$\frac{AC}{sinB}$•sin A=$\frac{1260}{\frac{63}{65}}$×$\frac{3}{15}$=500 m．
乙从B出发时，甲已走了50×（2+8+1）=550 m，还需走710 m才能到达C，
设乙步行的速度为v m/min，由题意得-3≤$\frac{500}{v}$-$\frac{710}{50}$≤3，
解得：$\frac{1250}{43}$≤v≤$\frac{625}{14}$，
∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在[$\frac{1250}{43}$，$\frac{625}{14}$]（单位：m/min）范围内．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查了同角三角函数的基本关系、及不等式解法和解三角形的实际应用等知识，考查分类讨论及数形结合的思想，属于中档题．