Question

12．已知各项均为正数的等差数列{a_n}满足：a_na_n+1=4n²-1（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4n}{（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{2}}$，证明b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式列式求得首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）把数列通项公式代入b_n=$\frac{4n}{（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{2}}$，然后利用裂项相消法求和证明．

解答 （1）解：设{a_n}的公差为d，a₁＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{a}_{2}={a}_{1}（{a}_{1}+d）=3}\\{{a}_{2}{a}_{3}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=15}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：${b}_{n}=\frac{4n}{（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{2}}=\frac{4n}{（2n-1）^{2}（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{（2n-1）^{2}}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}]$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$[（$1-\frac{1}{{3}^{2}}$）+（$\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{（2n-1）^{2}}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}$）]
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{（2n+1）^{2}}）＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了数列不等式的证法，是中档题．