Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线相切
（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长．
（2）过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N求直线MN的方程
（3）若与直线l₁垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）；（3），且

试题分析：（1）先由点到直线距离公式求出原点到直线的距离即为圆C的半径，再写出圆C的方程；（2）先求出以G为圆心|GM|的方程，圆G的方程与圆C方程相减就是其公共弦MN所在的直线方程；（3）先根据直线的方程求出的斜率，由直线⊥，求出的斜率，设出的斜截式方程，将直线方程与圆C方程联立，消去y化为关于x的方程，设出，根据韦达定理将，用直线在y轴上截距b表示，由判别式大于0得到关于b的不等式，将∠POQ为钝角转化为，利用数量积的坐标运算，再列出关于b的不等式，这两个不等式联立就解出b的取值范围．
试题解析：（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，
，所以圆的标准方程为：              2分
所以圆心到直线的距离         3分
     4分
（2）因为点,所以,
所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）
又圆方程为： （2），由得直线方程：     8分
（3）设直线的方程为：联立得：，
设直线与圆的交点，
由，得， （3）   10分
因为为钝角，所以,
即满足，且与不是反向共线，
又，所以 （4）
由（3）（4）得，满足，即，      12分
当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，
故直线纵截距的取值范围是，且       14分