Question

若不全为零的实数a，b，c成等差数列，点P（-1，-2）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是______．

Answer 1

∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．把b=

a+c

2

代入直线l：ax+by+c=0可得ax+

a+c

2

y+c=0，
化为a（2x+y）+c（y+2）=0．
由于a，c不全为0，联立

2x+y=0 y+2=0

解得

x=1 y=-2

，
可知：动直线l过定点Q（1，-2）．
设点M（x，y），∵PM⊥QM．
∴

PM

•

QM

=（x+1，y+2）•（x-1，y+2）=x²-1+（y+2）²=0，
化为x²+（y+2）²=1．
因此点M在以（0，-2）为圆心，1为半径的圆上，
故当取点M（0，-1）时，|MN|取得最小值3-（-1）=4．
故答案为：4．