Question

（1）当a=

1

2

时，解不等式ax²+2x+1＞0；
（2）当a∈R时，解关于x的不等式ax²+2x+1＞0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）直接利用一元二次不等式的解法进行求解即可；
（2）对参数a的取值范围进行讨论，根据开口方向分a=0，a＞0，a＜0三类，当a＞0时还需讨论判别式，然后解不等式即可．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，不等式为x²+4x+2＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜-2-

2

或x＞-2+

2

}；
（2）当a=0时，原不等式的解集为{x|x＞-

1

2

}，
当a＞0时，方程ax²+2x+1=0，△=4-4a，
①若△＞0，即0＜a＜1时，方程ax²+2x+1=0的两个解为x1=

-1- 1-a

a

，x2=

-1+ 1-a

a

，且x₁＜x₂，
∴原不等式的解集为{x|x＜

-1- 1-a

a

或x＞

-1+ 1-a

a

}；
②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为{x|x≠-1}；
②若△＜0，即a＞1时，原不等式的解集为R；
当a＜0时，一定有△＞0，方程ax²+2x+1=0的两个解为x1=

-1- 1-a

a

，x2=

-1+ 1-a

a

，且x₁＞x₂，
∴原不等式的解集为{x|

-1+ 1-a

a

＜x＜

-1- 1-a

a

}．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．