Question

14．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，A₁B⊥BB₁，若AB=2，AC=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{7}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． ：当AA₁=$\frac{\sqrt{42}}{7}$时，三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积取得最大值，最大值为$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
• B． ：当AA₁=$\frac{6}{7}$时，三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积取得最大值，最大值为$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
• C． ：当AA₁=$\frac{\sqrt{42}}{7}$时，三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积取得最大值，最大值为$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$
• D． ：当AA₁=$\frac{6}{7}$时，三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积取得最大值，最大值为$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 作AO⊥B 于O，连结A₁O，推导出∠AA₁O=90°，设A₁A=h，求出A₁O的表达式，以及三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴A₁A∥CC₁∥BB₁，
∵AA₁⊥BC，∴CC₁⊥BC，∵A₁B⊥BB₁，∴A₁B⊥CC₁，
∵BC∩BA₁=B，∴CC₁⊥平面BA₁C，∴AA₁⊥平面BA₁C，
∴∠AA₁O=90°，
作AO⊥BC于O，连结A₁O，
∵AB=2，AC=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{7}$，∴AB⊥AC，∴AO=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
设A₁A=h，A₁O=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）^{2}-{h}^{2}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}-{h}^{2}}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积V=S${\;}_{△BC{A}_{1}}$•h=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}×\sqrt{\frac{12}{7}-{h}^{2}}×h$=$\frac{1}{2}\sqrt{12{h}^{2}-7{h}^{4}}$，
当h²=$\frac{6}{7}$，即h=$\frac{\sqrt{42}}{7}$时，即AA₁=$\frac{\sqrt{42}}{7}$时棱柱的体积最大，最大值为：$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．