Question

19．对于函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：
①在同一直角坐标系中，函数y=f（-1-x）与y=f（x-1）的图象关于直线x=0对称；
②若f（1-x）=f（x-1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
③若f（1+x）=f（x-1），则函数y=f（x）是周期函数；
④若f（1-x）=-f（x-1），则函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
其中所有正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据函数对称变换法则，可判断①；根据函数的对称性，可判断②④；根据函数的周期性，可判断③．

解答 解：设函数y=f（-1-x）与y=f（x-1）的图象关于直线x=a对称，
则f[-1-（2a-x）]=f（x-1），即2a-1=-1，解得：a=0，
即函数y=f（-1-x）与y=f（x-1）的图象关于直线x=0对称，故①正确；
若f（1-x）=f（x-1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{1-1}{2}$=0对称，故②错误；
③若f（1+x）=f（x-1），f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[（1+x）-1}=f（x），
则函数y=f（x）是周期为2的周期函数，故③正确；
④若f（1-x）=-f（x-1），则函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，故④正确．
故答案为：①③④

点评 若f（a-x）=f（b+x）则函数图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称；若f（a-x）+f（b+x）=2c，则函数图象关于（$\frac{a+b}{2}$，c）对称；若f（a+x）=f（b+x），则函数的周期为|a-b|．