Question

已知直线l的参数方程为

x=2+t y= 3 t

（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：对第（1）问，利用二倍角公式cos2θ=cos²θ-sin²θ及极坐标与直角坐标的转换公式

ρcosθ=x ρsinθ=y

，即可将曲线C的方程化为直角坐标方程；
对第（2）问，将直线l的参数方程化为普通方程，联立曲线C的方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程，根据韦达定理得x₁+x₂及x₁•x₂的值，结合直线的斜率k，利用弦长公式|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

，即可求得直线l被曲线C截得的弦长．

解答： 解：（1）由ρ²cos2θ=1，得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，…①
将ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式中，得曲线C的普通方程为x²-y²=1．…①
（2）由直线l的参数方程

x=2+t y= 3 t

，消去t，得普通方程为y=

3

(x-2)．…②
将②式代入①式中，整理得2x²-12x+13=0，
设直线l与曲线C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得

x1+x2= 12 2 x1•x2= 13 2

，
又由②式得直线l的斜率k=

3

，
根据弦长公式，有|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 3 )2+1

•

( 12 2 )2-4× 13 2

=2

10

．

点评：1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

(x≠0)等．
2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘除，方程两边同时平方等．
3．若直线与曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线的斜率为k，联立直线与曲线的方程，消去y，再利用韦达定理将x₁+x₂及x₁•x₂的值整体代入弦长公式|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

中即可达到目的，此思路体现了“设而不求”的思想．