Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点的圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆心到直线3x+4y+1=0的距离为2．
（1）求圆C的方程；
（2）若椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且左右焦点为F₁，F₂，已知点P在圆C上且使∠F₁PF₂为钝角，求点P横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可设圆C的方程为（x-a）²+y²=a²（a＞0），再由点到直线的距离公式可得a的值，进而得到所求圆C的方程；
（2）运用椭圆的离心率公式，结合a，b，c的关系，可得b，c，进而得到左右焦点的坐标，求得以线段F₁F₂为直径的圆方程，结合圆C的方程，解得交点，结合图形即可得到所求P的横坐标的范围．

解答 解：（1）由经过原点的圆C的圆心在x轴正半轴上，
设圆C的方程为（x-a）²+y²=a²（a＞0），圆心（a，0），半径为a，
由圆心到直线3x+4y+1=0的距离为2，
可得$\frac{|3a+1|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=2，解得a=3，
则圆C的方程为（x-3）²+y²=9；
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，即有F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），
以线段F₁F₂为直径的圆为x²+y²=12，
联立圆C的方程，可得两圆的交点为（2，±2$\sqrt{2}$），此时∠F₁PF₂=90°，
要使∠F₁PF₂为钝角，点P横坐标的取值范围为（0，2）．

点评 本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和点到直线的距离公式，考查椭圆的方程和性质：离心率，注意结合两圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．