Question

16．已知离心率为2的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若${S_{△AOB}}=\sqrt{3}$，则p的值为2．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x，
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±$\frac{pb}{2a}$，
又由双曲线的离心率为2，所以$\frac{c}{a}$=2，则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
A，B两点的纵坐标分别是y=±$\frac{\sqrt{3}p}{2}$，
又△AOB的面积为$\sqrt{3}$，x轴是角AOB的角平分线，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$p×$\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2．
故答案为2．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．