Question

设命题p：函数h（x）=lg（ax²-x+

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a）的值域为R，命题q：不等式2-a＜a

2x+1

对一切正实数x均成立，如果“q或p”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：

分析：由二次函数和不等式的性质分别可得p真和q真时的a的取值范围，再由“q或p”为真命题，“p且q”为假命题，p，q一真一假，分类讨论取并集可得．

解答： 解：对于命题p：当a=0时函数h（x）=lg（-x），定义域为（-∞，0），值域为R，符合题意；
当a≠0时，则为二次函数y=ax²-x+

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a，要满足题意必须满足二次函数值y能取到所有正实数，则要求其图象开口向上，△≥0，或a=0，
即

a＞0 △=1- a2 4 ≥0

，解得0＜a≤2；
则命题p为真时0≤a≤2；
对于命题q，不等式2-a＜a

2x+1

对一切正实数x均成立，
当a≤0时，正数小于负数，不等式不成立，
当a＞0时，2-a＜a

2x+1

，即

2

a

-1＜

2x+1

对一切正实数x均成立，即

2

a

-1≤1，解得a≥1，
则命题q为真命题时a＞1，
若“q或p”为真命题，“p且q”为假命题，可得命题p，q一真一假，
当p真q假时，有

0≤a≤2 a＜1

，则0≤a＜1；
当p假q真时，有

a＜0或a＞2 a≥1

，则a＞2；
综上，是实数a的取值范围{x|0≤a＜1或a＞2}．

点评：本题考查复合命题与简单命题真假的关系，利用条件先求出命题p，q为真命题的等价条件是解决这类题的关键，属于难题．