Question

2．设函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}$（x＞0），观察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{4x}{3x+1}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{8x}{7x+1}$，
f（x）=f（f₃（x））=$\frac{16x}{15x+1}$，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{{2}^{n}x}{（{2}^{n}-1）x+1}$．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．

解答 解：观察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{4x}{3x+1}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{8x}{7x+1}$，
f（x）=f（f₃（x））=$\frac{16x}{15x+1}$，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{{2}^{n}x}{（{2}^{n}-1）x+1}$．
故答案为：$\frac{{2}^{n}x}{（{2}^{n}-1）x+1}$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．