Question

3．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）斜率为k的直线l经过原点O，与椭圆E相交于不同的两点M，N，判断并说明在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出P点坐标及直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程求出|MN|，再由点到直线的距离公式求出P到直线l的距离，设出过点P与直线l平行的直线l₁：y=kx+m．联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0得到m与k的关系，
再由两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离大于P到直线l的距离得答案．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a=|BF|=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得c=1，∴b²=a²-c²=1．
则椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）存在．
设点P（x，y），直线l的方程为y=kx．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，有${x}^{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，则|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
则点P到直线l的距离为$\frac{2×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{|MN|}$=$\frac{2\sqrt{1+2{k}^{2}}}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
设过点P与直线l平行的直线l₁：y=kx+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△=0，解得m=±$\sqrt{1+2{k}^{2}}$．
此时l与l₁ 的距离为$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞\frac{2\sqrt{1+2{k}^{2}}}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
则在椭圆E上存在点P，使得△PMN的面积为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．