Question

已知函数y=f（x）满足下列条件：
（1）对?x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立；
（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称．
（3）对?x，y∈R，有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，则当0＜x＜4时，x²+y²的取值范围是多少？

Answer 1

考点：函数恒成立问题,导数的运算

专题：函数的性质及应用,直线与圆

分析：依题意，知y=f（x）为R上的单调递减的奇函数，且满足（x-4）²+（y-3）²＜4，作出图形，利用x²+y²的几何意义可求得当0＜x＜4时，x²+y²的取值范围．

解答： 解：∵函数y=f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称，
∴y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）为奇函数；
又对?x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立，
∴y=f（x）为R上的减函数；
∵?x，y∈R，有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，
∴f（x²-8x+21）＞-f（y²-6y）=f（6y-y²）
∴6y-y²＞x²-8x+21，
∴（x-4）²+（y-3）²＜4．
作图如下：

∵x²+y²的几何意义为圆内的点到坐标原点O（0，0）的距离的平方，
当0＜x＜4时，由图可知，点M（4，5）到原点的距离最大，|MO|²=5²+4²=41；
点N到原点O的距离最小，|NO|=5-2=3，|NO|²=9，
∴x²+y²的取值范围是（9，41）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及导数的应用，着重考查函数恒成立问题，考查数形结合思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．