Question

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+a为偶函数．
（1）求a的值；
（2）设函数，g（x）=

f(x)

x

，当x∈[1，+∞]时，不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用偶函数的性质，f（-x）=f（x），可求得a的值；
（2）依题意，当x∈[1，+∞）时，不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立?-m²-2m+4≤x+

1

x

恒成立，构造函数h（x）=x+

1

x

，利用双钩函数的单调性质可求得h（x）_min，从而解不等式-m²-2m+4≤h（x）_min，即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+（a-1）x+a为偶函数，
∴f（-x）=（-x）²+（a-1）•（-x）+a=x²-（a-1）x+a=x²+（a-1）x+a=f（x），
∴2（a-1）x=0恒成立，故a=1；
（2）由（1）知，a=1，f（x）=x²+1，
∴g（x）=

f(x)

x

=x+

1

x

，
∵当x∈[1，+∞）时，不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立?x∈[1，+∞）时，x+

1

x

+m²+1+2m≥5恒成立?x∈[1，+∞）时，-m²-2m+4≤x+

1

x

恒成立，
令h（x）=x+

1

x

，
则x∈[1，+∞）时，-m²-2m+4≤h（x）_min，
∵双钩函数h（x）=x+

1

x

在区间[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=2，
∴-m²-2m+4≤2，即m²+2m-2≥0，
解得：m≥

3

-1或m≤-

3

-1．
∴m的取值范围是（-∞，-1-

3

]∪[

3

-1，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数的奇偶性单调性与最值，考查构造函数思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．