Question

已知数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_k是以4为首项、-2为公差的等差数列，a_k+1，a_k+2，…，a_2k是以

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2

为首项、

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2

为公比的等比数列（k≥3，k∈N^*），且对任意的n∈N^*，都有a_n+2k=a_n成立，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）当k=5时，求a₄₈的值；
（2）判断是否存在k，使a_64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意分别求出等差、等比数列对应的通项公式，由k=5和a_n+2k=a_n成立求出数列的周期，由周期性求出a₄₈；
（2）先假设存在，利用数列的周期性进行求解判断即可．

解答： 解：（1）由等差数列通项公式得，a_k=4+（k-1）（-2）=-2k+6，
由等比数列通项公式得，a_k+n=

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×(

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2

)n-1=(

1

2

)n，
∵对一切正整数n，都有a_n+2k=a_n成立．
∴数列为周期数列，周期为2k．
当k=5时，周期为10，所以a₄₈是等比数列中的第三项，
所以a48=(

1

2

)3=

1

8

；
（2）假设存在k，使a_64k+3≥230成立，
因为数列为周期数列，且周期为2k，
所以a_64k+3=a₃=0≥230不成立，
故不存在k使a_64k+3≥230成立．

点评：本题考查等差、等比数列的通项公式，数列表示法，数列的周期性，及数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．