Question

9．已知函数f（x）=2e^x，g（x）=ax+2．记F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）若F（x）≥0恒成立，求证：x₁＜x₂时，$\frac{F（{x}_{2}）-F（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞2（e${\;}^{{x}_{1}}$-1）恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；
（2）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且e^x-1≥x，当且仅当x=0时，取“=”利用此结论即可证明．

解答 解：（Ⅰ）F′（x）=2e^x-a …（2分）
若a≤0，则F′（x）≥0，F（x）在R上递增；…（3分）
若a＞0，令F′（x）=0，得x=ln$\frac{a}{2}$．…（4分）
所以，当x∈（-∞，ln$\frac{a}{2}$）时，F′（x）＜0，F（x）递减；
当x∈（ln$\frac{a}{2}$，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增．…（5分）
（Ⅱ）证明：①若a≤0，则F（x）在R上递增，…（6分）
又因为F（0）=0，所以F（x）≥0不可能恒成立…（7分）
②若a＞0，则由F（x）≥0=F（0）可知，x=0应该为极小值点，
所以ln$\frac{a}{2}$=0，得：a=2，所以F（x）=2（e^x-x-1）当且仅当x=0时，F（0）=0…（9分）
故当x₁＜x₂时，x₂-x₁＞0
F（x₂）-F（x₁）=2${e}^{{x}_{1}}$（${e}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$-1）-2（x₂-x₁），（*）
由F（x）＞0?e^x-x-1＞0?e^x-1＞x，得：${e}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$-1＞x₂-x₁，
所以上式（*）＞2${e}^{{x}_{1}}$（x₂-x₁）-2（x₂-x₁），
 故$\frac{F（{x}_{2}）-F（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞2（${e}^{{x}_{1}}$-1）…（12分）

点评 本题考查导数研究函数的单调性、函数恒成立问题及不等式的证明，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，对能力要求较高，属于综合题．