Question

20．已知定义在[-1，+∞]上的函数在区间[-1，3）上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}（-1≤x＜1）}\\{\frac{3}{2}-\frac{3}{x}×|x-2|（1≤x＜3）}\end{array}\right.$，当x≥3时，函数满足f（x）=f（x-4）+1，若函数g（x）=f（x）-kx-k有6个零点，则实数k的取值或取值范围为（　　）

• A． （$\frac{5}{14}$，$\frac{9+\sqrt{21}}{40}$）
• B． $\frac{5}{14}$
• C． （$\frac{5}{12}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{5}{14}$，$\frac{5}{12}$）

Answer 1

分析 将问题转化为y=f（x）与y=k（x+1）有6个交点，作出函数图象，求出两函数图象恰有5个交点和7个交点时的k值，即可得出k的范围．

解答 解：令g（x）=0得f（x）=k（x+1）．
作出y=f（x）与y=k（x+1）的函数图象，

由图象可知M（-1，0）为两函数图象的一个交点．
当直线y=k（x+1）与f（x）在[3，4）上的函数图象相切时，两函数图象有恰好有5个交点，
设此时直线斜率为k₁，A（4，1），则tan∠AMx=$\frac{1}{5}$，
∴k₁=tan2∠AMx=$\frac{2tan∠AMx}{1-ta{n}^{2}∠AMx}$=$\frac{5}{12}$．
设B（6，$\frac{5}{2}$），则当直线y=k（x+1）经过点B时，两函数图象恰好有7个交点，
设此时直线斜率为k₂，则k₂=k_BM=$\frac{\frac{5}{2}-0}{6+1}$=$\frac{5}{14}$．
∴k的取值范围是（$\frac{5}{14}$，$\frac{5}{12}$）．

点评 本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，准确作出函数图象，寻找k的临界值是解题的关键，属于中档题．