题目内容

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一结论判断下列命题：
①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；
②函数f（x）=x3-3x2-3x+5的对称中心也是函数y=tan
π
2
x的一个对称中心；
③存在三次函数h（x）方程h′（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；
④若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
，则g（
1
2014
）+g（
2
2014
）+g（
3
2014
）+…+g（
2013
2014
）=-1006.5
其中正确命题的序号为
 
（把所有正确命题的序号都填上）．
考点：命题的真假判断与应用,导数的运算
专题：导数的概念及应用
分析：①③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；
②根据新定义求出对称中心，而y=tan
π
2
x的对称中心是（
kπ
2
，0），继而判断；
④求得函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
的对称中心（
1
2
，-
1
2
），g（x）+g（1-x）=-1，继而求出值．
解答： 解：任何三次函数都有且只有一个对称中心，故①不正确；
∵f（x）=x3-3x2-3x+5，
∴f′（x）=3x2-6x-3，
∴f″（x）=6x-6，
令f″（x）=6x-6=0，
解得x=1，f（1）=0，
∴f（x）=x3-3x2-3x+5的对称中心是（1，0），
当x=1时，（
π
2
，0）是函数y=tan
π
2
x的一个对称中心，故②正确，
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，故③正确．
∵g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
，
∴g′（x）=x2-x，
g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，
解得x=
1
2
，
g（
1
2
）=
1
3
×(
1
2
)3-
1
2
×(
1
2
)2-
5
12
=-
1
2
，
∴函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
的对称中心是（
1
2
，-
1
2
）
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（
1
2014
）+g（
2
2014
）+g（
3
2014
）+…+g（
2013
2014
）=-1006.5，故④正确．
所以正确命题的序号为②③④
故答案为：②③④．
点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若曲线y=x2，则过点P（1，0）与曲线y=x2相切的切线方程为
 
．
已知二项式（1+ax）6展开式的第四项系数是160，则实数a=
 
．（用数字作答）
如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x-2）；
③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；
④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数．
其中判断正确的序号是
 
．
A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地，甲、乙的速度关于时间的关系式分别为v1（t）=
4
t+1
和v2（t）=t（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：
①出发后1小时，甲还没追上乙；
②出发后1小时，甲乙相距最远；
③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地；
④甲追上乙后，先到达C地．
其中正确的是
 
．（请填上所有描述正确的序号）
设随机变量X服从二项分布X～B（5，
1
2
），则函数f（x）=x2+4x+X存在零点的概率是（　　）
A、
5
6
B、
4
5
C、
31
32
D、
1
2
对于实数x，y，“x2+y2＞2”是“|x|＞1且|y|＞1”的（　　）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
已知i是虚数单位，
1-3i
2+i
的虚部是（　　）
A、
5
7
B、-
1
5
C、
7
5
i
D、-
7
5
若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A、16B、32C、48D、144

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