Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y²=4$\sqrt{5}$x的焦点重合，点P（2，1）在双曲线的渐近线上，则ab的值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 8
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，结合题意有双曲线的几何性质可得c=$\sqrt{5}$，即可得a²+b²=5①，由双曲线的方程表示出其渐近线方程，由于P（2，1）在双曲线的渐近线上，则$\frac{b}{a}$=2②，联立①、②可得a、b的值，将其相乘即可得答案．

解答 解：根据题意，抛物线y²=4$\sqrt{5}$x的焦点为（$\sqrt{5}$，0），
则双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（$\sqrt{5}$，0），即c=$\sqrt{5}$
则有a²+b²=5，①
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由P（2，1）在双曲线的渐近线上，则$\frac{b}{a}$=2，②，
联立①、②可得a=2，b=1，
则有ab=2，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是得到关于a、b的方程．